Kubne jednačine

Posmatrajmo polinom trečeg stepena

${\displaystyle y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cxd}$ za ${\displaystyle a\neq 0}$

koja siječe x-osu u taČkama koje su nule odgovarajuće jednačine trečeg stepena (kubne jednačine).

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Rješenja ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ jednačine ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}={\frac {c}{a}},\ x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$^[1]

Primjer

${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-x+3=0}$

i ima nule, rješenja

${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle x=3}$

U jednačini

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

smjenom

${\displaystyle y=b-{\frac {b}{3a}}}$

postaje

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

za

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}}$ i ${\displaystyle q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{37a^{3}}}}$

Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta ^[2]

${\displaystyle D=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{1})^{2})}$

pripadnog polinoma :${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ gdje su ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi

${\displaystyle D=-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.}$

Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

I izraz

${\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$ je diskriminanta

Za ${\displaystyle D<0}$ ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja

Za ${\displaystyle D=0}$ ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje

Za ${\displaystyle D>0}$ ima sva tri realna i različita rješenja

Primjer

Jednačina

${\displaystyle y=x^{3}-3x^{2}-x+3}$ smjenom

${\displaystyle y=x+1}$

postaje

${\displaystyle y^{3}-4y=0}$

Jednačina

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$ smjenom

${\displaystyle y=u+v}$

postaje

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+\left(3uv+p\right)\left(u+v\right)+q=0}$

Ovdje smo nepoznatu ${\displaystyle y}$ zamjenili sa 2 nove ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$.

uvodimo novi uslov

${\displaystyle 3uv=p}$

pa je

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}}$

Iz

${\displaystyle y^{3}-4y=0}$

dobijamo

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=0;uv={\frac {4}{3}}}$

Sistem

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}}$ ekvivlentan je sa

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;u^{3}v^{3}={\frac {-p^{3}}{27}}}$

Iz kojeg dobijamo

${\displaystyle t^{2}+qt-{\frac {-p^{3}}{27}}}$

za ${\displaystyle t_{1}=u^{3}it_{2}=v^{3}}$

Njenim rješavanjem dobijamo

${\displaystyle t_{1},2=-{\frac {q}{27}}\pm {\sqrt {({\frac {q^{2}}{4}})+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$

Vračanjem druge smjene dobijamo

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

IZ

${\displaystyle y^{3}-4y=0}$

${\displaystyle p=-4iq=0}$

pa je ${\displaystyle y=0}$

tj. jedno rješenje jednačine je

${\displaystyle y=x^{3}-3x^{2}-x+3}$

${\displaystyle x=o}$

Parovi (u,v) su rješenja sistema

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}}$

Iz jednačina

${\displaystyle u^{3}=t_{1}iv^{3}=t_{2}}$

slijedi

${\displaystyle u_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{1}}$,

${\displaystyle u_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}}$,

${\displaystyle u_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}}$

${\displaystyle v_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$,

${\displaystyle v_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$,

${\displaystyle v_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$

gdje su treči korjeni jedinice

${\displaystyle a^{0}=1,a^{1}={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt[{3}]{3}}),a^{2}={\frac {1}{2}}(-1-i{\sqrt[{3}]{3}})}$

Odnosno sva rješenja jednačine

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

data su formulom

${\displaystyle y_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$,

${\displaystyle y_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$,

${\displaystyle y_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$

koje se također nazivaju Kardanove formule.

U našem slučaju (za ${\displaystyle D<0}$) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj ${\displaystyle D<0}$) nazivamo nesvodljiv slučaj.

Za ${\displaystyle p=}$i ${\displaystyle q=0}$ imamo

${\displaystyle D={\frac {-64}{27}}}$

pa je ${\displaystyle y=0}$ i imamo 2 slučaja

${\displaystyle y_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$, ${\displaystyle y_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}}$

Iz ovoga je ${\displaystyle t_{1}=-t_{2}}$

${\displaystyle y_{2}=(a-a^{2}){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}}$

${\displaystyle y_{3}=(a^{2}-a){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}}$ =>

${\displaystyle y_{2}=(i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}}$

${\displaystyle y_{3}=(-i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}}$ =>

${\displaystyle y_{2}=2\land y_{3}=-2}$

${\displaystyle x=y+1}$ pa je rješenje polaznog primjera

${\displaystyle x_{1}=-1}$

${\displaystyle x_{2}=1,}$

${\displaystyle x_{3}=3}$

Opšte rješenje za svaku kubnu jednačinu

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0}$

je

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011.

1. ↑ Vietove formule
2. ↑ Diskriminanta kubne jednačine