Gauss konstant

Gauss konstant är en matematisk konstant betecknad G och definierad som reciproken till det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

G = 1 a g m ( 1 , 2 ) . {\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}.}

Dess decimalutveckling är (talföljd A014549 i OEIS)

0,8346268416740731862814297...

och talet ges av kedjebråket (talföljd A053002 i OEIS)

[0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Koppling till lemniskatan

Konstanten har fått sitt namn efter Carl Friedrich Gauss som den 30 maj 1799 upptäckte att den är lika med

G = 2 π ∫ 0 1 d x 1 − x 4 {\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}

vilket relaterar den till lemniskatan. Konstanten kan användas för att definiera lemniskatekonstanterna som används för att ange båglängden av en lemniskata. Den första konstanten ges av

L 1 = π G , {\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G,}

den andra av

L 2 = 1 2 G . {\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}.}

Övriga samband

Gauss konstant kan användas för att ange gammafunktionen av 1/4 med ett slutet uttryck,

Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}

och eftersom π och Γ(1/4) är algebraiskt oberoende är Gauss konstant därmed ett transcendent tal. Gauss konstant är även lika med

G = 2 π B ( 1 4 , 1 4 ) {\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\,\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\right)}

där Β betecknar betafunktionen. Ytterligare ett uttryck för G, i termer av thetafunktioner, är

G = ϑ 4 2 ( e − π ) . {\displaystyle G=\vartheta _{4}^{2}(e^{-\pi }).}

En snabbt konvergerande serie är

G = 32 4 e − π 3 [ ∑ n = − ∞ ∞ − 1 n e − 2 n π ( 3 n + 1 ) ] 2 . {\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }-1^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right]^{2}.}

Några andra serier är

G = π 2 ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 2 1 2 5 k {\displaystyle G={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}}
G = 2 ∑ k = 0 ∞ ( 2 k k ) 1 ( 4 k + 1 ) 2 2 k {\displaystyle G=2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}}
G = π ( ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k e − π k 2 ) 2 {\displaystyle G=\pi {\biggl (}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr )}^{2}}


log ⁡ G = 1 2 γ − 1 2 log ⁡ 2 + log ⁡ π + 2 π ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k log ⁡ ( 2 k + 1 ) 2 k + 1 . {\displaystyle \log G={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}\,.}

En oändlig produkt är

G = ∏ m = 1 ∞ tanh 2 ⁡ ( π m 2 ) . {\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}

Några integraler är

1 G = ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( x ) d x {\displaystyle {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx}
G = ∫ 0 ∞ d x cosh ⁡ ( π x ) . {\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}.}

Källor

  • Weisstein, Eric W., "Gauss's Constant", MathWorld. (engelska)
  • Följder A014549 och A053002 i OEIS