Harmoniskt tal

Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

${\displaystyle H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}.}$

Summan av de n första harmoniska talen ges av

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.}$

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

Beräkning

En integralrepresentation av Euler är

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för H_n :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx\\&=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta ${\displaystyle x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n}$ och använda ${\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}$:

${\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.}$

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att

${\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}$

vars värde är ln(n).

Värdena av följden H_n - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

${\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}$

där ${\displaystyle B_{k}}$ är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie

Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

${\displaystyle {\begin{aligned}1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots \,+\,{\frac {1}{n}}&=\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {1}{n-r}}={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {n}{n-r}}={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{r=0}^{n-1}\left(1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\right)\\&=1+{\frac {1}{n}}\sum _{r=1}^{n-1}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {r^{m}}{n^{m}}}\\&=1+\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}\left(\sum _{r=1}^{n-1}r^{m}\right)\right)\\&=1+{\frac {1+2+\cdots +n-1}{n^{2}}}+{\frac {1^{2}+2^{2}+\cdots +(n-1)^{2}}{n^{3}}}+{\frac {1^{3}+2^{3}+\cdots +(n-1)^{3}}{n^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$

Förekomst

Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}$

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent med att

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}},}$

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

${\displaystyle \lambda \phi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\phi (x)-\phi (y)}{|x-y|}}dy}$

ges av ${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$ där ${\displaystyle H_{0}=0.}$

Genererande funktioner

Harmoniska talens genererande funktion är

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$

En exponentiell genererande funktion ges av

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}$

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

${\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z\,}$

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar

Hyperharmoniska tal

J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$

Speciellt är ${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$.

Se även

• Eulers konstant
• Riemanns zetafunktion

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Harmonic number, 19 december 2013.

• Weisstein, Eric W., "Harmonic Number", MathWorld. (engelska)

Se även

• Harmoniska serien