Vandermondematris

En Vandermondematris är inom linjär algebra en matris vars rader beskriver geometriska följder, uppkallad efter den franske matematikern Alexandre-Théophile Vandermonde.

Om ${\displaystyle V}$ är en Vandermondematris av format ${\displaystyle m\times n}$ är alltså elementen ${\displaystyle v_{ij}=a_{i}^{j-1}}$ för tal ${\displaystyle a_{i}}$, så att matrisen blir:

${\displaystyle V={\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{1}^{2}&\cdots &a_{1}^{n-1}\\1&a_{2}&a_{2}^{2}&\cdots &a_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&a_{m}&a_{m}^{2}&\cdots &a_{m}^{n-1}\end{pmatrix}}}$

Egenskaper

För kvadratiska (${\displaystyle m=n}$) Vandermondematriser är determinanten

${\displaystyle \det V=\prod _{1\leq i<j\leq n}(a_{j}-a_{i})}$.

En Vandermondematris där ${\displaystyle m\leq n}$ har maximal rang om och endast om alla ${\displaystyle a_{i}}$ är distinkta.

Tillämpningar

Vandermondematriser betraktas vid polynominterpolation, eftersom att lösa systemet ${\displaystyle Vu=y}$, där ${\displaystyle V}$ är en Vandermondematris, är ekvivalent med att hitta koefficienterna ${\displaystyle u_{k}}$ i polynomet

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}x^{k}}$

av grad ${\displaystyle \leq n-1}$ som har värdena ${\displaystyle y_{k}}$ vid ${\displaystyle a_{k}}$.