Matematikte Stolarsky ortalaması, logaritmik ortalamanın bir genelleştirmesidir. 1975 yılında Kenneth B. Stolarsky tarafından ortaya atılmıştır.[1]
Tanım
Stolarsky ortalaması şu şekilde tanımlanır:
pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&x=y{\text{ ise,}}\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&x\neq y{\text{ ise.}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeed7e8d8eac3f50c4cbbccfc39d7cc56066a9b)
Tanımın elde edilmesi
Ortalama değer teoremine göre, herhangi bir (x, y) aralığında bir fonksiyonun türevinin kesen doğrunun eğimine eşit olmasını sağlayan bir
değeri bulunur:
![{\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72838f8077ad2fbb6f7a48323fabcb37502a5b0)
Stolarsky ortalaması,
durumunda
'nin alacağı değer olarak tanımlanabilir:
![{\displaystyle \xi =f'^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d5fba6f369853311e5dd52b39ae93de1c75d15)
Özel durumlar
minimumdur.
geometrik ortalamadır.
logaritmik ortalamadır.
. dereceden genelleştirilmiş ortalamadır.
aritmetik ortalamadır.
karesel ortalama ve geometrik ortalama ile ilişkili bir niceliktir.
maksimumdur.
Tanımın genelleştirilmesi
Stolarsky ortalaması, bölünmüş farklar için ortalama değer teoremi göz önüne alınarak
. türev için
değişkenli duruma genelleştirilebilir:
olmak üzere,
![{\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdf9c9c9ff6ea4954c378cf370ea3262ee2ce36)
Ayrıca bakınız
Kaynaklar
- ^ Stolarsky (1975). "Generalizations of the logarithmic mean". Mathematics Magazine. 48: 87-92. doi:10.2307/2689825. ISSN 0025-570X.