Bernoulli-teszt

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: a siker és a kudarc.

A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.

Az események megválaszolhatók „igen” vagy „nem” válasszal.

Például:

a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?
az újszülött gyermek lány lesz?

Az érme esetében a siker a „fej”, kudarc az „írás”. Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.^[1]

Egy kockadobásnál a siker például a “hatos”, és minden más ‘kudarc’.

Definíció

Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen $p$ a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc ( $q$ ) valószínűsége:

q=1-p

A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú ( $n$ ), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége $p$ , és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése $B(n,p)$ , binomiális eloszlás szerint változik.

A $B(n,p)$ kísérletnél $k$ a siker valószínűsége:

P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}

A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.

Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják.^[2]

Példa: pénzfeldobás

Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.

Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.

Megoldás

A kísérletünkben legyen a fej a „siker”, és az írás a „kudarc”. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos és a feldobáskor is váltogatjuk a pozícióját,^[1] a „siker” valószínűsége $p=1/2$ . Így a ‘kudarc’ valószínűsége:

q=1-p=1-1/2=1/2

A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:

{\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{2}\\&=6\times (1/2)^{2}\times (1/2)^{2}\\&=3/8\end{aligned}}

Jegyzetek

↑ ^a ^b Pénzfeldobásnál az ujjak technikájával a valószínűség akár ±10%-kal is befolyásolható. Még akaratlanul is nagy átlagban 50,1% annak az esélye, hogy az eredmény fej lesz, ha a feldobáskor is az volt felül. (Nem igaz, hogy az érmefeldobásnál pontosan 50 százalék esély van a fejre és az írásra. Telex.hu, 2023. október 18.)
↑ Rajeev Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995, p.67-68

Források

Weisstein, Eric W.: Bernoulli Trial (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Rajeev Motwani and P. Raghavan: Randomized Algorithms. (hely nélkül): Cambridge University Press, NY. 1995. 67–68. o.