Bernoulli törvénye

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia-összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg

Állandó földi nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+gh+{p \over \rho }=\mathrm {konstans} }$

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = földi nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

${\displaystyle \rho }$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

• Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
• Stacionárius, vagy időben állandósult áramlás
• Összenyomhatatlan közeg; ${\displaystyle \rho }$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
• Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+\phi +w=\mathrm {konstans} }$

ahol

${\displaystyle \phi \,}$ = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, ${\displaystyle \phi =gh\,}$ állandó nehézségi gyorsulás esetén

${\displaystyle w\,}$ = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

${\displaystyle w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}}$ ahol ${\displaystyle \epsilon \,}$ a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és ${\displaystyle b}$-vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) ${\displaystyle b}$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

${\displaystyle m{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=F}$

${\displaystyle \rho A\operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}=-A\operatorname {d} p}$

${\displaystyle \rho {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dx}}}$

Állandósult áramlás esetén ${\displaystyle v=v(x)}$, így

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {dv}{dx}}v={\frac {d}{dx}}{\frac {v^{2}}{2}}}$

Ha ${\displaystyle \rho }$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$

vagy

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$

ahol a ${\displaystyle C}$ állandó, ezt néha Bernoulli-állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk, hogy az áramlás súrlódásmentes, nincsenek energiaveszteséget okozó erőhatások.

A munkatételt, avagy a kinetikai energia elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők eredőjének munkája = kinetikai energia megváltozása

A nyomáskülönbségből származó erők munkája:

${\displaystyle F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;}$

A nehézségi erő munkája:

${\displaystyle mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}\;}$

A kinetikai energia növekedése:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}.}$

A fentieket összevetve:

${\displaystyle p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}$

vagy

${\displaystyle {\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.}$

Mindkét oldalt elosztva ${\displaystyle \Delta t}$-vel, ${\displaystyle \rho }$-val és ${\displaystyle A_{1}v_{1}}$-val (= térfogatáram = ${\displaystyle A_{2}v_{2}}$, mivel a közeg összenyomhatatlan):

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\frac {p}{\rho }}=C}$

Leosztva g-vel:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}=C}$

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{h}}}}$ vagy ${\displaystyle h={\frac {v^{2}}{2g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikai nyomás vagy statikus magasság definíciója:

${\displaystyle p=\rho gh\,}$, vagy ${\displaystyle h={\frac {p}{\rho g}}}$.

A ${\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az ${\displaystyle A_{1}}$ és az ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten a ${\displaystyle \Delta t}$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az ${\displaystyle A_{1}}$ és ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}\,}$

ahol ${\displaystyle \Delta E_{1}}$ és ${\displaystyle \Delta E_{2}}$ az energia mennyisége, amely az ${\displaystyle A_{1}}$ keresztmetszeten beáramlik és a ${\displaystyle A_{2}}$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a ${\displaystyle p\,dV}$ mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

${\displaystyle \Delta E_{1}=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t}$

Hasonló összefüggést lehet felírni a ${\displaystyle \Delta E_{2}}$-re is. Így behelyettesítve a ${\displaystyle 0=\Delta E_{1}-\Delta E_{2}}$ ezt kapjuk:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\phi _{1}\rho _{1}+\epsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right]A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\phi _{2}\rho _{2}+\epsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right]A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

amit így át lehet alakítani:

${\displaystyle 0=\left[{\frac {1}{2}}v_{1}^{2}+\phi _{1}+\epsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right]\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left[{\frac {1}{2}}v_{2}^{2}+\phi _{2}+\epsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right]\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+\phi +\epsilon +{\frac {p}{\rho }}={\rm {konstans}}\equiv b}$

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom

• Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest

További információk

• Bernoulli-törvénye és a barackok – YouTube videó a törvényt szemléltető egyik kísérletről