Braket-jelölés

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. (2023 februárjából)

A braket-jelölés a kvantumállapotok bevett jelölése a kvantummechanikában. Kompakt jelölés, ahol a ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ket (vektor) egy állapotvektort (oszlopvektort), a ${\displaystyle \langle \phi |}$ bra (vektor) pedig egy transzponált konjugált állapotvektort (sorvektort) jelöl. A nevét a jelölés az angol „bracket” („zárójel”) szóról kapta, ahol a „bra” és „ket” betűcsoportok úgy zárják közbe a „c” betűt, mint a bra és ket vektorok egy C operátort. Az állapotvektorok belső szorzata ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ alakban írandó. A jelölést Paul Dirac vezette be, és Dirac-jelölésként is ismert. A matematika és a kvantumszámítás is használja.

Bra és ket

A kvantummechanikában egy fizikai rendszert egy komplex H Hilbert-tér vektorával azonosítjuk. Mindegyik vektort „ket”-nek, vagy „ket vektornak” hívjuk és így írjuk:

${\displaystyle |\psi \rangle }$

Minden ket vektornak van egy „bra” duálisa:

${\displaystyle \langle \psi |}$

Ez egy folytonos lineáris funkcionál H-ból C-be (komplex számok), amit a következő kifejezés definiál:

${\displaystyle \langle \psi |\rho \rangle ={\bigg (}|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle {\bigg )}}$ minden ${\displaystyle |\rho \rangle }$ ket-re

ahol ( , ) a Hilbert-tér belső szorzata. A bra egyszerűen a ket transzponált konjugáltja (vagy hermitikus konjugáltja). A jelölést a Riesz-féle reprezentációtétel igazolja, ami kijelenti, hogy a Hilbert-tér és duális tere izometrikusan izomorf. Így minden bra pontosan egy ket-nek felel meg és megfordítva. Ez nem mindig van így, csak addig, amíg a definiáló függvények négyzetesen integrálhatók (ld. például Cohen-Tannoudji). Tekintsünk egy continuum bázist és egy Dirac-féle delta-függvényt, vagy egy szinusz- vagy koszinuszfüggvényt mint hullámfüggvényt. Az ilyen függvények nem négyzetesen integrálhatók, ezért az adódik, hogy vannak olyan bra-k, amiknek nincs megfelelő ket-jük. Ez nem futtatja zátonyra kvantummechanikát, mert minden fizikailag realisztikus hullámfüggvény négyzetesen integrálható.

A braket-jelölés akkor is használható, ha a vektortér nem Hilbert-tér. Bármely B Banach-térben a vektorok jelölhetők kettel és a folytonos lineáris funkcionálok braval. Bármely nemtopologikus vektortér vektorait is jelölhetjük kettel és a lineáris funkcionálokat bra-val. Ebben az általános esetben a braketnek nincs belső szorzat jelentése, mivel a Riesz-féle reprezentációtétel nem alkalmazható.

A ${\displaystyle \langle \phi |}$ bra és a ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ket szorzata, amit bra-ket-nek hívhatunk:

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$.

egy komplex szám. A kvantummechanikában ez annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a ${\displaystyle \psi \!}$ állapot a ${\displaystyle \phi .\!}$ állapotba essen a mérés során.

Tulajdonságok

Mivel minden ket egy vektor egy komplex Hilbert-térben és minden bra-ket egy belső szorzat, a következő műveletek lehetségesek:

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$ duálisa ${\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|}$

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}}$

ahol ${\displaystyle c_{1},c_{2}\,}$ komplex számok.

Lineáris operátorok

Ha A : H → H lineáris operátor, akkor A-t egy ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ket-re alkalmazva a ${\displaystyle (A|\psi \rangle )}$ ket-et kapjuk. A lineáris operátorok mindenütt jelen vannak a kvantummechanikában, például a fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok, a szimmetriatranszformációkat unitér operátorok képviselik.

Az operátorokat tekinthetjük úgy is, mint ami jobbról a bra-ra hat. A ${\displaystyle (\langle \phi |A)}$ konstrukció egy bra, ami egy lineáris funkcionál H-n a következő szabály szerint:

${\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )}}$.

Ezt a kifejezést szokásosan így írjuk:

${\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle .}$

H-n komponálhatunk operátort a külső szorzattal:

${\displaystyle |\phi \rangle \langle \psi |}$

ami a ${\displaystyle |\rho \rangle }$ ket-et leképezi a ${\displaystyle |\phi \rangle \langle \psi |\rho \rangle }$ ket-re (ahol ${\displaystyle \langle \psi |\rho \rangle }$ egy skalár). A külső szorzatot például projekciós operátorok megkonstruálására használhatjuk. Legyen ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 1-es normájú ket. Az általa kifeszített altérbe vetítő operátor ekkor:

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |.}$

Összetett bra és ket

A V és W Hilbert-terekből tenzorszorzattal képezhetünk egy harmadikat: ${\displaystyle V\otimes W}$. A kvantummechanikában ha egy rendszer egy V és W által leírt alrendszerből áll, akkor a teljes rendszert a tenzorszorzat írja le – kivéve ha az alrendszerek azonos részecskék, mert ekkor a helyzet egy kicsit bonyolultabb.

Ha ${\displaystyle |\psi \rangle }$ egy ket V-ben és ${\displaystyle |\phi \rangle }$ egy ket W-ben, akkor a tenzorszorzatuk egy ket ${\displaystyle V\otimes W}$-ben, amit többféleképpen írhatunk:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle }$ vagy ${\displaystyle |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ vagy ${\displaystyle |\psi \phi \rangle }$ vagy ${\displaystyle |\psi ,\phi \rangle .}$

Reprezentációk braket-jelöléssel

A kvantummechanikában gyakran kényelmesebb a vektoroknak egy bázisra vett vetületeivel dolgozni, mint magukkal a vektorokkal. Az ok, hogy az utóbbiak egyszerűen komplex számok, amiket parciális differenciálegyenletekben használhatunk (például a Schrödinger-egyenlet helykoordináta-bázison). Ez az eljárás nagyon hasonlít a koordinátavektorok használatához a lineáris algebrában.

Például egy nulla spinű részecske Hilbert-terét az ${\displaystyle \lbrace |\mathbf {x} \rangle \rbrace }$ helybázis feszíti ki, ahol x befutja az összes helyvektort. Kiindulva bármely ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ket-ből ezen a Hilbert-téren definiálhatunk egy komplex skalár függvényt, a hullámfüggvényt:

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\psi \rangle .}$

Ezután definiálhatjuk a hullámfügvényre ható operátorokat a ket vektorokon ható operátorok segítségével:

${\displaystyle A\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |A|\psi \rangle .}$

Például a p impulzus operátorát:

${\displaystyle \mathbf {p} \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {p} |\psi \rangle =-i\hbar \nabla \psi (x).}$.

A számolás közben előfordul a

${\displaystyle -i\hbar \nabla |\psi \rangle }$

kifejezés, amit úgy kell érteni, hogy a differenciáloperátor egy absztrakt operátor, ami a koordinátákra vetítéskor a következőképpen hat:

${\displaystyle -i\hbar \nabla \langle \mathbf {x} |\psi \rangle .}$

További információk