Cauchy–Hadamard-tétel

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

${\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|{\frac {1}{n!}}|}}}=\infty }$

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az ${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$ valós függvény hatványsora a (−1, 1) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás

Legyen r₀ olyan, hogy ${\displaystyle |a_{n}|r_{0}^{n}\leq M}$ egy véges M nem negatív valós számra. Másként

${\displaystyle r_{0}\leq {\frac {\sqrt[{n}]{M}}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}.}$

Határátmenettel

${\displaystyle r_{0}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

${\displaystyle R\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$

Legyen most

${\displaystyle 0\leq r_{0}<\liminf _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}.}$

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

${\displaystyle r_{0}<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}},}$

ebből

${\displaystyle |a_{n}|r_{0}^{n}<1,}$ ha n elég nagy.

${\displaystyle |a_{n}|r_{0}^{n}}$ korlátos, tehát van ilyen M, és így ${\displaystyle r_{0}\leq R.}$ r₀-lal az alsó határértékhez (limesz inferiorhoz) tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Források

Halász Gábor: Komplex függvénytan