Euler–Lagrange-egyenlet
| Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
A matematikában és a fizikában az Euler–Lagrange-egyenlet vagy Euler-egyenlet[1] egy differenciálegyenlet, amelynek megoldásai olyan függvények, amelyekre egy adott funkcionálnak stacionárius pontja van. Az egyenlettel először Leonhard Euler és Joseph Louis Lagrange matematikus foglalkozott.
Mivel a differenciálható funkcionáloknak stacionárius pontja van a lokális szélsőértékeiknél, így az egyenlet használható optimalizációs problémák megoldásakor, melyekben egy olyan függvényt keresünk, mely egy adott funkcionált minimalizál vagy pedig maximalizál. Analízisben hasonló elven működik a Fermat-tétel, mely kimondja, hogy amelyik pontban egy valós függvénynek lokális szélsőértéke van, abban a pontban a függvény deriváltja nulla.
A hatáselv alapján egy erőhatás alatt álló test pályája pontosan az a pálya lesz, mely mentén a hatás stacionárius. A stacionárius pontok, melyek a rendszer mozgásegyenleteinek felelnek meg, meghatározhatóak olyan módon az Euler-Lagrange-egyenlettel, hogy azok Newton törvényeivel összeegyeztethetőek legyenek. Az egyenletnek egy rokon változata fellelhető a klasszikus térelméletben is, mely egy tetszőleges mező dinamikáját határozza meg.
Története
Az egyenletet először Euler és Lagrange fedezte fel az 1750-es években.
Az egyenlet első változata Lagrange-tól származik 1755-ből, aki azt elküldte Eulernek. Ezután együttesen továbbfejlesztették Lagrange módszerét, és fizikai feladatok megoldására alkalmazták.[2]
A tétel
Az Euler–Lagrange-egyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amelyet egy q valós t változós függvény, amely a következő funkcionálnak:
nyugvópontja. Ahol:
- q, a keresett függvény, amire teljesül, hogy:
- úgy, hogy q differenciálható és q(a) = xa és q(b) = xb;
- q′ jelöli q deriváltját, és:
- L pedig egy valós értékű függvény, folytonos parciális deriváltakkal:
Ekkor az Euler-Lagrange egyenlet:
ahol Lx és Lv jelölik a L második és harmadik argumentum szerinti parciális deriváltjait.
Ha az X tér dimenziója nagyobb, mint 1, akkor ez egy egyenletrendszer:
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben az Euler–Lagrange equation című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
Források
- Weisstein, Eric W.: Euler-Lagrange Differential Equation (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Gelfand, Izrail Moiseevich. Calculus of Variations. Dover (1963). ISBN 0-486-41448-5
- Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap