Imaginárius egység

A matematikában az imaginárius egység (vagy képzetes egység) egy olyan komplex szám, melynek négyzete −1. Leggyakrabban i, j vagy az ι (ióta) betűvel jelölik. Az imaginárius egység bevezetésével a valós számok halmaza (${\displaystyle \mathbb {R} }$) kiterjeszthető a komplex számok halmazára (${\displaystyle \mathbb {C} }$). A pontos meghatározás a kiterjesztés módjától függ.

Meghatározás

A képzetes egység az alábbi másodfokú egyenlet egyik megoldásaként definiálható. x²+1=0, vagy másképpen x²=-1.

Ez az egyenlet a valós számok halmazán nem oldható meg, mert nincs olyan valós szám, aminek a négyzete negatív lenne. Alkothatunk azonban egy új, a valós számokon kívül álló számot, melynek meghatározó tulajdonsága, hogy kielégíti a fenti egyenletet. Az, hogy ez a mesterségesen megalkotott szám létezik-e vagy sem, nem matematikai, hanem filozófiai kérdés. Matematikai szempontból éppen annyira jól definiált fogalom, mint más számok.

A képzetes egységre a valós számoknál megszokott műveleteket is kiterjeszthetjük. Ennek módja, hogy i-t ismeretlen matematikai objektumként kezeljük, az egyetlen átalakítás, amit megtehetünk vele kapcsolatban az, hogy alkalmazzuk a meghatározást (0=x²+1) és i² helyett -1-et írunk. Ezt az elvet követve megállapítható, hogy i magasabb egész kitevős hatványai -i, 1 és i:

i³=i²•i=-i,

i⁴=i³•i=-i•i=-1•-1=1

i és -i

A ${\displaystyle x^{2}=-1\,\!}$ egyenletnek i bevezetése után 2 elkülönülő megoldása is van, amik egyenlően érvényesek és történetesen az ellentettjei és reciprokai egymásnak. Pontosabban, ha egyszer az egyenlet i megoldása adott (i definíciója alapján), akkor a -i (ami nem egyenlő i-vel) is egy megoldás. Miután az egyenletet használtuk i meghatározására, úgy tűnhet, hogy az egyenlet gyökei bizonytalanok (avagy nem jól definiáltak). Azonban nincs kétértelműség, amíg a megoldások egyike ki van nevezve „pozitív i”-nek. Ez azért van, mert habár i és -i mennyiségileg nem egyenlőek (ellentettjei egymásnak), a valós számok felől közelítve minőségileg azonosak: Mindkét imaginárius szám ugyanúgy lehet az a szám aminek a négyzete -1. Ha minden imaginárius vagy komplex számra vonatkozó tankönyvben és publikált irodalomban a -i-t +i-re cserélnénk (és ugyanúgy minden +i-t -i-re) minden tény és elmélet ugyanúgy érvényes maradna. Az ${\displaystyle x^{2}+1=0\,\!}$ két ${\displaystyle x\,\!}$ gyöke közül egyik sem mondható előbbvalónak a másiknál.

Precízebben fogalmazva bár a komplex számok halmaza ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(x^{2}+1)\,\!}$-ként meghatározva egyedi az izomorfizmus szintjén (azaz minden lehetséges ilyen struktúra izomorf egymással), abban az értelemben nem egyedi, hogy pontosan 2 halmaz automorfizmusa van ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(x^{2}+1)\,\!}$-nek, az azonosság X -X-be történő autormorfikus megváltoztatásával. (Ezek nem ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kizárólagos automorfikus csoportjai, hanem csak azok, melyek megtartják mindegyik valós számot állandóként.)

Egy hasonló probléma merül fel, ha a komplex számokat 2 × 2-es valós mátrixokként definiáljuk, mert akkor mindkét

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

és

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}}$

megoldása az :${\displaystyle x^{2}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}}$

mátrixegyenletnek.

Ebben az esetben a bizonytalanság abból származik, hogy melyik a „pozitív” körforgás „iránya” az egység-körben. Úgy lehetne pontosabban mondani, hogy a speciális ortogonális csoport automorf csoportja SO (2, R) pontosan 2 elemet tartalmaz - az egyenlőséget egy automorfizmus váltja át az órajárással megegyező irányból órajárással ellentétes iránnyá.

Ezek a felszíni kellemetlenségek elkerülhetők a komplex szám más definícióinak használatával. Például a rendezett páron alapuló definíció esetén az imaginárius egység a (0; 1) párnak felel meg.

Pontos használat

Az imaginárius egység néha ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$-ként is megtalálható magasabb szintű matematikai szövegkörnyezetben, valamint laikusoknak szóló népszerű szövegekben is; azonban ez megtévesztő lehet. A négyzetgyökjelet általában csak a valós ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$ számokra szokás értelmezni, esetleg komplex számoknál az elsődleges komplex négyzetgyököt lehet jelölni vele. Ha a valós számok halmazából ismert gyökvonási azonosságokat próbáljuk alkalmazni a komplex számok elsődleges gyökvonási műveletére, akkor hibás eredményeket kaphatunk:

${\displaystyle -1=i*i={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}$. (hibás)

A

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$

azonosság csak a és b nem negatív valós értékeinél áll fenn. Hogy elkerüljük az ilyen hibákat, miközben manipuláljuk a komplex számokat, egy lehetséges megoldás, hogy sose használjunk negatív számot a gyökjel alatt. Például ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$ helyett célszerűbb ${\displaystyle i{\sqrt {7}}}$-t írni.

Az imaginárius egység négyzetgyöke

Azt hihetnénk, hogy kénytelenek vagyunk kitalálni egy újabb adag imaginárius számot, hogy kifejezhessük i négyzetgyökét. Azonban ez nem szükséges, mert kifejezhető mint két komplex szám egyike:

${\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$, amennyiben ${\displaystyle ({\sqrt {C}})^{2}=i}$

Ez levezethető Euler formulájából:

${\displaystyle i=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)\,}$

és

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$

ezért

${\displaystyle e^{i(\pi /2)}=i\,\!}$

négyzetgyököt vonva mindkét oldalból:

${\displaystyle e^{i(\pi /4)}=i^{1/2}\,\!}$

ha x = π/4 in cos(x), akkor

${\displaystyle {\begin{aligned}\pm {\sqrt {i}}&=\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4)\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\pm {\sqrt {2}}(1+i)}{2}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}}$

Ennek helyességét a következőkből tudhatjuk:

${\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }$	${\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }$
	${\displaystyle =i.\ }$

Köbgyöke

Az i köbgyökei:

${\displaystyle -i,}$

${\displaystyle +{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},}$

${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}.}$

A többi egységgyökhöz hasonlóan egy egységkörbe írt szabályos sokszög csúcsain helyezkednek el.

i reciproka

i reciproka könnyedén kifejezhető:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}$

Használva az azonosságot, hogy általánosítsuk az osztást minden i komplex számra:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai}$

i hatványai

i hatványai egy körben ismétlődnek:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i\,}$

${\displaystyle i^{-2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{-1}=-i\,}$

${\displaystyle i^{0}=1\,}$

${\displaystyle i^{1}=i\,}$

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{3}=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=1\,}$

${\displaystyle i^{5}=i\,}$

${\displaystyle i^{6}=-1\,}$

${\displaystyle \ldots }$

Ezt a következő sorozattal fejezhetjük ki, ahol n egész szám:

${\displaystyle i^{4n}=1\,}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}$

Ebből következik, hogy:

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}$

ahol mod a modulus művelet.

i és Euler képlete

Euler képlete a következő:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$ ,

ahol x egy valós szám. A függvény analitikusan kiterjeszthető komplex x-re is. Az x = π helyettesítés a következőt eredményezi:

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,}$

és meg is kapjuk az elegáns Euler-azonosságot:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,}$

Ez a rendkívül egyszerű egyenlet összekapcsol öt alapvető matematikai mennyiséget (0, 1, π, e és i) az összeadás, szorzás és hatványozás egyszerű műveletével.

Példa

x=π/2-2Nπ, helyettesítése, ahol N egy tetszőleges egész szám, a következőt adja:

${\displaystyle e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,}$

vagy, mindkettőt i hatványra emelve:

${\displaystyle e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$

vagy

${\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$,

ami megmutatja, hogy iⁱ-nek végtelen számú előállítása van az alábbi formában:

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,}$

ahol N akármelyik egész szám. Az igazi érték, habár igazi, nem az egyedüli, ennek az az oka, hogy a komplex logaritmus több értékű képlet.

Műveletek i-vel

Alapműveletek

Az i-vel való szorzás a pozitív irányú 90 fokos forgatásnak felel meg:

${\displaystyle i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.}$

Az i-vel való osztás ugyanazt az eredményt adja, mint a reciprokkal való szorzás:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.}$

Ezzel az i-vel való osztás eredménye:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.}$

vagyis megfelel egy negatív irányú 90 fokos forgatásnak.

További műveletek

Sok valós számmal elvégezhető művelet elvégezhető i-vel is, úgy mint a hatványozás, a gyökvonás, logaritmizálás és trigonometrikus egyenletek megoldása.

Egy szám ni-edik hatványa:

${\displaystyle \!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n}))}$.

Egy szám ni-edik gyöke:

${\displaystyle \!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).}$

Egy szám i alapú logaritmusának főértéke:

${\displaystyle \log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.}$

i koszinusza egy valós szám:

${\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1{,}54308064.}$

és i szinusza imaginárius:

${\displaystyle \sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1{,}17520119\,i.}$

A faktoriális általánosítása a teljes gammafüggvény: 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0{,}4980-0{,}1549i.}$

Továbbá,

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}}$^[1]

i az i-ediken

Az Euler-formulával kifejezve:

${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}}$

ahol ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ tetszőleges egész szám. Ennek főértékét k = 0 adja, ami valós szám: e^−π/2, értéke megközelítőleg 0,207879576...^[2]

Alternatív jelölések

• Az elektronikában és a kapcsolódó területeken, az imaginárius egység gyakran ${\displaystyle j\,}$-ként van jelölve, hogy elkerüljék az áramerősséggel való felcserélését. A Python is a j-t használja az imaginárius egység jelölésére és a Matlabban az i-t és a j-t is használhatjuk.
• Különleges odafigyelést igényelnek az olyan szövegek, melyek a j-t -i-ként definiálják.
• Néhány szöveg az ι-t használja az imaginárius egység jelölésére.

Jegyzetek