Inflexiós pont

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben, ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillanatig egyenes haladási irányba lenne állítva a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

• Ha az ${\displaystyle f}$ függvénynek ${\displaystyle x_{0}}$ pontban inflexiós pontja van, akkor az első deriváltjának ${\displaystyle x_{0}}$-ban szélsőértéke van: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
• Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a második derivált függvényértéke nulla ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$).
• A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.

Feltételek az inflexiós pont létezéséhez

Szükséges feltételek

• ${\displaystyle f}$ legyen az ${\displaystyle x_{0}}$ pont egy környezetében kétszer differenciálható
• ${\displaystyle x_{0}}$ az inflexiós pont,
  ekkor:

${\displaystyle f''(x_{0})=0\,}$

Elégséges feltételek

• ${\displaystyle f}$ függvény második deriváltja előjelet vált ${\displaystyle x_{0}}$ pontban. Ha ${\displaystyle f\,''(x)}$ pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor ${\displaystyle f\,(x)}$ konvexből konkávba vált, ha ${\displaystyle f\,''(x)}$ negatívból pozitívba vált, akkor pedig ${\displaystyle f\,(x)}$ konkávból konvexbe megy át.
• Legyen az ${\displaystyle f}$ függvény ${\displaystyle x_{0}}$ pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha ${\displaystyle f\,''(x_{0})=0}$ és ${\displaystyle f'''(x_{0})\neq 0}$, akkor ${\displaystyle x_{0}}$ inflexiós pont. Ha az ${\displaystyle \,f'''>0}$, akkor a függvénygörbe konkávból konvexbe, ha pedig ${\displaystyle \,f'''<0}$ akkor konvexből konkávba vált.

Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a nyeregpont.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: ${\displaystyle f''(x)=0}$, de ez a feltétel (szükséges feltétel) önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.

Példa

${\displaystyle {f(x)}={1 \over 3}\cdot x^{3}-2\cdot x^{2}+3\cdot x}$

A függvény második deriváltja:

${\displaystyle {f''(x)}={2\cdot x-4}}$

Ekkor teljesülnie kell, hogy:

${\displaystyle {f''(x)}=0={2\cdot x-4}}$

Az eredmény ${\displaystyle x=2}$. (Itt lehet inflexiós pontja ${\displaystyle f}$-nek.)

Egyúttal

${\displaystyle {f'''(x)}=2\,}$

ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.

Különleges esetek

• ${\displaystyle {f(x)}=(x-2)\cdot e^{|x|}}$
  Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az ${\displaystyle x=0}$ pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.

• ${\displaystyle {f(x)}=x\cdot |x|}$
  Ennek a függvénynek az ${\displaystyle x=0}$ pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az ${\displaystyle {f''(0)}\,}$. Ennek ellenére az első deriváltnak, ${\displaystyle {f'}\,}$-nek ${\displaystyle x=0}$-ban minimuma van.