Klein-féle palack

A Klein-féle palack vagy Klein-kancsó a matematikai topológia egyik fogalma, egy kétdimenziós, egyoldalú (vagyis nem irányítható) felület, amit önmagába forduló ívelt kúpként lehet elképzelni. A palacknak a belseje egyben a külseje is, tehát ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk festeni az egészet. Nevét Felix Klein (1849–1925) német matematikusról kapta.

A Klein-kancsó szemléletes leírása

Szemléletes leírással jól elképzelhetővé tehetjük a rajzon is látható Klein kancsót. A Klein kancsó felülete egy a tetején kiöblösödő, de lefelé haladva fokozatosan elvékonyodó cső, (szemléletesen egy lopótök alakú kancsó), melynek alsó, elvékonyodó szára visszakanyarodik, fogantyút alkot, majd áthatol a vastag csőszakasz falán, és belülről csatlakozik a cső szélesebb (a „lopótök” belső) „tetejéhez”.

Érdekességek

• A Klein-kancsó előállítható két, tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával.
• A Klein-kancsó felületére kettős-fríz mintázatok helyezhetők, melyek érdekesen transzformálódnak a két Möbius-szalaggá való szétválasztáskor.
• A Klein-kancsó önátmetszés nélkül nem ágyazható be a háromdimenziós térbe. Ehhez legalább négy dimenzió kell.
• A Klein-kancsó kétdimenziós, zárt sokaság, ami azt jelenti, hogy kompakt felület, és nincs határa.
• Differenciálható sokaság, azaz leírható differenciálható függvényekkel.
• Ha egy gömbön kivágunk két lyukat, és a lyukak határát egy-egy Möbius-szalag határával azonosítjuk, akkor Klein-palackot kapunk.
• A Klein-kancsóra rajzolt bármely térkép kiszínezhető legfeljebb hat szín felhasználásával. Ez az egyetlen kivétel a Heawood-sejtés alól, ami a négyszíntétel általánosításaként összefüggést állít a felhasználandó színek száma és az adott felület nemszáma között. A sejtés szerint a színek számának hétnek kell lennie.
  

Képletek

A Klein-palack például a következőképpen írható le képletekkel:

${\displaystyle r=4{\Bigl (}1-{\frac {\cos(u)}{2}}{\Bigr )}}$

ahol ${\displaystyle 0\leq v<2\pi }$ és ${\displaystyle 0\leq u<\pi }$ esetén:

${\displaystyle x=a\cos(u)(1+\sin(u))+r\cos(u)\cos(v)}$

${\displaystyle y=b\sin(u)+r\sin(u)\cos(v)}$

${\displaystyle z=r\sin(v)}$

és ${\displaystyle 0\leq v<2\pi }$-re meg ${\displaystyle \pi <u\leq 2\pi }$-re:

${\displaystyle x=a\cos(u)(1+\sin(u))+r\cos(v+\pi )}$

${\displaystyle y=b\sin(u)}$

${\displaystyle z=r\sin(v)}$

Az a és a b konstansok a palack méretét és arányait határozzák meg.

Topológia

A Klein-palack a következőképpen konstruálható:

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk az éleket úgy, ahogy az ábra mutatja: az azonos színűeket azonosítjuk a nyilaknak megfelelő irányok szerint. Formálisan, a Klein-palack megkapható az [0,1] × [0,1] négyzetből a (0,y) ~ (1,y), 0 ≤ y ≤ 1 és az (x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤ x ≤ 1 relációk szerinti ragasztással. Ezt úgy is mondjuk, hogy a négyzet a Klein-palack fundamentális poligonja.

A Klein-palack topológiai értelemben nem metszi át magát, mégsem ágyazható be a háromdimenziós térbe önátmetszés nélkül. Ekkor a következőképpen képzelhető el: egy hosszú téglalap hosszabb oldalait összeragasztjuk úgy, ahogy a piros nyilak mutatják. Ezután a cső egyik végét átdugjuk a cső falán, és belülről ragasztjuk a cső másik végéhez. Az így készült Klein-palackon lehet egy törés ott, ahol a két véget összeragasztottuk, azonban valójában sehol sincs törés. Ez a Klein-palack immerziója a háromdimenziós térbe. A háromdimenziós immerzió lehetővé teszi, hogy láttassuk a Klein-palack tulajdonságait: nincs határa, ahol hirtelen véget érne, egy oldalú és nem irányítható.

A valóságban is hasonló módon készítenek Klein-palackokat üvegből.

Négy dimenzióban az önátmetszés kiküszöbölhető úgy, hogy a háromdimenziós immerzióban kapott képben kihúzzuk az önátmetszés környékét a negyedik dimenzió irányába. Koordinátákkal ez úgy valósítható meg, hogy a háromdimenziós Klein-palackot a nulla negyedik koordinátájú altérbe képezzük le, és az önátmetszés környékén folytonosan megnöveljük a negyedik koordinátát úgy, hogy ott legyen a legnagyobb, ahol az önátmetszés lenne.

Kapcsolódó szócikkek

• egyoldalú nyílt felület
• Möbius-szalag

Források

• Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Topológia: Rácsátrendeződések a Möbius-szalag–Tórusz transzformáció során. Természet Világa, 1990/10. 464-466. (HU ISSN 0040-3717)
• Bérczi Sz. (1993): Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double-Threads and Cellular Tubes with Möbius-Band, Torus, Tube-Knot and Klein-Bottle Topologies. Symmetry: Culture and Science, 4. No. 1. p. 49-68. (ISSN 0865-4824)
• Szaniszló Bérczi (1997): Symmetrieanderungen durch zellulare Automaten in Transformationen geschlossener Doppelfaden und zellularer Röhren mit Möbiusband-, Torus-, Röhrenknoten- und Klein-Flaschen-Topologie. (In: Jenseits von Kunst, P. Weibel, ed.), p. 216-220. Passagen Verlag, Wien (A Művészeten Túl magyar katalógus ISBN száma: ISBN 963-03-8859-6)
• Kétdimenziós sokaságok konstrukciója
• A Klein-palack
• Videó a Klein-palack konstrukciójáról [1].
• Klein-palack a MathWorldnél
• Alling-Greenleaf a Klein-palackról
• A Symmetry changes by cellular automata cikk
• Matematika képekben - A Klein-palack Archiválva 2011. március 2-i dátummal a Wayback Machine-ben
• www.klein-bottle-film.com: Klein-féle palack animáció, egy utazással a palackon keresztül, Felix Klein eredeti leirásaval. Gyártotta a Freie Univeverität Berlin 2010-ben.