Logaritmikus spirál

Logaritmikus spirál (pitch 10°)
Egy nautilusz házának metszete, a kamrák hozzávetőlegesen a logaritmikus spirált követik
Magyarázó ábra
Alacsony nyomású terület felhőzete Izland felett logaritmikus spirál alakot vesz fel
A spirális galaxisok karjai gyakran logaritmikus spirál alakúak
A napraforgó magjai logaritmikus spirál mentén helyezkednek el
Közelítő logaritmikus spirál szerkesztése

A logaritmikus spirál a spirális síkgörbék egy fajtája, mely gyakran figyelhető meg a természetben. A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd később behatóan tanulmányozta Jakob Bernoulli, aki Spira mirabilisnak, vagyis „csodálatos spirál”nak nevezte.

Definíció és tulajdonságok

Polárkoordinátákkal felírva egyenlete:

r = a e b θ {\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}

vagy

θ = 1 b ln ⁡ ( r a ) {\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln \left({\frac {r}{a}}\right)}

innen származik a „logaritmikus” név is. Paraméteres alakban a görbe egyenletrendszere:

x ( t ) = r cos ⁡ ( t ) = a e b t cos ⁡ ( t ) {\displaystyle x(t)=r\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,}
y ( t ) = r sin ⁡ ( t ) = a e b t sin ⁡ ( t ) {\displaystyle y(t)=r\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,}

ahol a és b valós szám.

Egy tetszőleges pontjába a pólusból húzott sugár és a ponthoz tartozó érintő által bezárt szög állandó:

ψ = arccot ⁡ b {\displaystyle \psi =\operatorname {arccot} b\,}

A b paramétertől függ , hogy milyen gyorsan „tágul” a spirál és hogy melyik irányba csavarodik. Speciális esetben , ha a b = 0, a spirál a sugarú körré fajul. Ha a b paraméter végtelenhez tart, a spirál egyeneshez közelít.

A görbületi sugár:

ρ = r 1 + b 2 {\displaystyle \rho =r{\sqrt {1+b^{2}}}}

A P T ¯ {\displaystyle {\overline {PT}}} a spirál érintője P pontban:

P T ¯ = r 1 + b 2 b {\displaystyle {\overline {PT}}=r{\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}}
O T ¯ = r b {\displaystyle {\overline {OT}}={\frac {r}{b}}}

Az r polársugarú P és r1 polársugarú P1 pont közötti ívhossz:

P P 1 ^ = s = 1 + b 2 b ( r − r 1 ) {\displaystyle {\widehat {PP_{1}}}=s={\frac {\sqrt {1+b^{2}}}{b}}(r-r_{1})}

Az OP1P szektorterület:

O P 1 P = 1 4 b ( r 2 − r 1 2 ) {\displaystyle OP_{1}P={\frac {1}{4b}}(r^{2}-r_{1}^{2})}

A logaritmikus spirál evolutája egy, az eredeti görbével kongruens görbe, mely az eredetihez képest π 2 − ln ⁡ b b {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\ln b}{b}}} szöggel elfordítva:

r = a e b ( θ − π 2 + ln ⁡ b b ) {\displaystyle r=ae^{b(\theta -{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\ln b}{b}})}}

Csodálatos spirál

A logaritmikus spirálnak a Spira mirabilis (latinul csodálatos spirál) nevet Jakob Bernoulli adta, mivel el volt ragadtatva a görbe egyedülálló matematikai tulajdonságaitól: a görbe méretei állandóan nőnek, de alakja változatlan marad bármely további csavarodással. Bernoulli kívánsága az volt, hogy sírkövére kerüljön fel ez a csodálatos görbe, de tévedésből egy arkhimédészi spirált véstek be. A logaritmikus spirál és az arkhimédészi spirál között a fő különbség az, hogy az utóbbinál a görbe minden fordulata közötti távolság állandó, a logaritmikus spirálnál azonban mértani sorozat szerint nő. Valószínűleg ez az oka annak, hogy több növekedéssel összefüggő természetes forma is logaritmikus spirál alakú, mint például a napraforgó magjainak elhelyezkedése a tányéron vagy az ammoniteszek háza, melyek mészkőbe ágyazva gyakori kövületek.

A logaritmikus spirálok önmagukkal hasonlók és önmagukkal kongruensek minden hasonlósági transzformációra. (Nagyításuk-kicsinyítésük ugyanazt eredményezi, mint elforgatásuk a pólus körül.) Nagyításuk b 2 π {\displaystyle b^{2\pi }} tényezővel az eredeti görbét adja. Szintén kongruensek evolutáikkal és evolvenseikkel.

Ha egy tetszőleges P ponttól a pólus felé haladunk a görbe mentén, a pólust csak végtelen sok fordulat után érhetjük el annak ellenére, hogy a pólustól való távolság véges ( r / cos ⁡ α {\displaystyle r/\cos \alpha } ). Ezt a tulajdonságát Evangelista Torricelli fedezte fel még a differenciálszámítás feltalálása előtt.

Logaritmikus spirál a természetben

Több természeti jelenségnél lehet logaritmikus spirálhoz közeli görbéket találni. Néhány példa:

  • A sólyom röppályája, amikor zsákmányát megközelíti. A zsákmányra keringése közben mindig azonos szögben néz, és közben fokozatosan közelít a céljához.
  • Rovar röppályájának alakja, amikor fényforrás felé közelít.
  • Spirálgalaxis karjainak alakja. A mi galaxisunknak a tejútnak, valószínűleg négy spirálkarja van, mindegyik közelítőleg logaritmikus spirál alakú, melynél az érintő szöge α ⋍ 12 ∘ {\displaystyle \alpha \backsimeq 12^{\circ }} . Általában más galaxisoknál ez a szög 10-40° közé esik.
  • A trópusi ciklonok, például hurrikánok karjai.
  • Sok biológiai struktúra, például a pókháló és a puhatestűek házai (az ammoniteszek és a heteromorf ammoniteszek megkövült házai jellemző példák). Ezekben az esetekben a magyarázat a következő: Kiindulás legyen bármely síkbeli szabálytalan F0 alak. Nagyítsuk ezt fel tetszőleges szorzóval F1-re és helyezzük el F1 -et úgy, hogy az F0 oldalát érintse. Most nagyítsuk fel ugyanazzal a szorzóval F1-et és a kapott F2-t helyezzük elé az előzőekhez hasonlóan F1 oldalához érintve. Többször megismételve a fent leírt műveletet, közelítő logaritmikus spirál lesz az eredmény, melynél a spirál szöge az a szög lesz, mellyel a két szomszédos elem hajlik egymáshoz. Ezt a műveletet a szomszédos ábra egy általános négyszög példáján szemlélteti.

Irodalom

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Források

  • Spiral mirabilis Archiválva 2007. július 15-i dátummal a Wayback Machine-ben Története és matematikája (angolul)
  • Weisstein, Eric W.: Logaritmikus spirál (angol nyelven). Wolfram MathWorld