Loxodroma

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A loxodroma egy gömb felületére írt csavarvonal. A földgömbre írt loxodroma a földrajzi hálózat minden meridiánját azonos szögben metszi. Ez a tulajdonsága teszi lehetővé, hogy a jármű az északi iránnyal állandó szöget (azimut, kurzus) bezáró útirányt tartva jusson a célba.

Matematikai leírása

A földrajzi koordináta-rendszerben az Egyenlítő és a nullmeridián metszéspontjából induló α irányszögű loxodroma egyenlete:

${\displaystyle \lambda =\pm {\frac {180^{o}\cdot \mathrm {tg} {\alpha }}{\pi }}\cdot \ln {\mathrm {tg} {(45^{o}+\varphi /2)}}\mod 360^{o}}$ .

A kettős előjel közül a (+) kelet felé (jobbra) csavarodó, a (−) nyugat felé (balra) csavarodó görbéhez tartozik.

A függvény értelmezési tartománya a -90° < φ < +90° nyílt intervallum. A görbe a pólusok felé közeledve minden meridiánt periodikusan (ismételten) metsz. A görbe teljes hossza véges(!), csak az α kurzusszögtől és a gömb R sugarától függ:

${\displaystyle S={\frac {R\pi }{\cos {\alpha }}}}$ .

Mercator-vetület

Ha a [φ;λ] földrajzi koordináták hálózatát az

${\displaystyle x\gets \lambda }$

${\displaystyle y\gets \ln {\mathrm {tg} {(45^{o}+\varphi /2)}}}$

leképezések alkalmazásával a síkba vetítjük, akkor a Mercator-féle szögtartó vetületet kapjuk. Itt az origóra illeszkedő loxodroma vetülete egyenes, egyenlete: ${\displaystyle x=my}$, ahol ${\displaystyle m=\mathrm {tg} {(\alpha )}}$ az egyenes meredeksége, iránytangense. A loxodromához tartozó kurzusszög tehát:

${\displaystyle \alpha =\mathrm {arctg} {(x/y)}}$.

Sztereografikus vetület

A földrajzi fokhálózatot a déli pólusból az északi pólusban érintő síkra vetítjük a

${\displaystyle \lambda \gets \lambda }$

${\displaystyle \rho \gets 2R\mathrm {tg} {(\varphi /2-45^{o})}}$

leképezéssel, ahol [ρ;λ] a síkbeli polárkoordináták. Az így kapott szögtartó stereografikus térképen a loxodroma vetülete logaritmikus spirális:

${\displaystyle \rho =K\cdot \exp {(\mp \lambda \cdot \mathrm {ctg} {\alpha })}}$.

Kapcsolódó lapok

A loxodroma meghatározására a navigáció során kerül sor.

A loxodromához kapcsolódó ortodroma két gömbfelületi pont közötti legrövidebb felületi vonal.

Források

• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei - Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951.
• Bartsch, Hans-Jochen: Matematische Formeln - Fachbuchverlag, Leipzig, 1967.
• Steinert, K.-G.: Sphärische Trigonometrie - Teubner Verlaggeselschaft, Leipzig, 1977.
• Steinhaus ,H: Matematikai kaleidoszkóp, Művelt Nép Könyvkiadó, Budapest, 1951.