Riemann–Lebesgue-lemma

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Riemann–Lebesgue-lemma:

Ha ${\displaystyle f\in R_{[a,b]}}$, akkor

${\displaystyle \lim _{\mu \to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\cos \mu x\,dx=\lim _{\mu \to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\sin \mu x\,dx=0.}$

Következmény

A fenti lemma következményeként az ${\displaystyle \left\{a_{k}\right\}}$, ${\displaystyle \left\{b_{k}\right\}}$ Fourier-együtthatók sorozatának egy érdekes tulajdonságát kapjuk.

Tétel

Egy Riemann-integrálható f függvény ${\displaystyle \left\{a_{k}\right\}}$, ${\displaystyle \left\{b_{k}\right\}}$ Fourier-együtthatók sorozatára érvényes, hogy:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }b_{k}=0}$.