Equazione di Callan-Symanzik

In fisica teorica, l'equazione di Callan-Symanzik è un'equazione differenziale che descrive l'evoluzione delle funzioni di correlazione a n punti al variare di un parametro sulla scala dell'energia e delle costanti di accoppiamento della teoria, dipendenti esse stesse dalla scala data. Prende il nome da Curtis Callan[1] e Kurt Symanzik[2][3] che la scoprirono indipendentemente nel 1970. Più tardi fu usata per comprendere la libertà asintotica.

L'equazione

L'equazione di Callan-Symanzik ha la struttura seguente:

[ M ∂ ∂ M + β ( g ) ∂ ∂ g + n γ ] G ( n ) ( x 1 , x 2 , … , x n ; M , g ) = 0 {\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma \right]G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=0}

dove β ( g ) {\displaystyle \beta (g)} e la funzione beta e γ {\displaystyle \gamma } l'esponente di scala dei campi. Questa equazione si applica nel limite del cut-off della teoria che va all'infinito. In questo limite la teoria descrive campi privi di massa e segue l'invarianza conforme. Questa può essere riscritta in modo analogo per i momenti effettuando lo scambio x i → p i {\displaystyle x_{i}\rightarrow p_{i}} .

In elettrodinamica quantistica questa equazione prende la forma

[ M ∂ ∂ M + β ( e ) ∂ ∂ e + n γ 2 + m γ 3 ] G ( n , m ) ( x 1 , x 2 , … , x n ; M , e ) = 0 {\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (e){\frac {\partial }{\partial e}}+n\gamma _{2}+m\gamma _{3}\right]G^{(n,m)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,e)=0}

con n ed m il numero di elettroni e fotoni rispettivamente.

Questa equazione si ottiene nell'ambito del gruppo di rinormalizzazione. Come è usuale in questo caso, è possibile trattarla solo usando la teoria delle perturbazioni.

Note

  1. ^ C. G. Callan, Jr., Broken Scale Invariance in Scalar Field Theory, Phys. Rev. D 2, 1541–1547 (1970). APS
  2. ^ K. Symanzik, Small Distance Behaviour in Filed Theory and Power Counting, Commun. math. Phys. 18, 227 (1970). SpringerLink
  3. ^ K. Symanzik, Small-Distance-Behaviour Analysis and Wilson Expansions, Commun. math. Phys. 23, 49 (1971). SpringerLink

Bibliografia

  • Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena , Oxford University Press 2003, ISBN 0198509235
  • John Clements Collins, Renormalization, Cambridge University Press 1986, ISBN 0521311772
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