Funzione beta (teoria quantistica dei campi)

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In fisica teorica, in particolare nella teoria quantistica dei campi, una funzione beta descrive la dipendenza di una costante di accoppiamento g {\displaystyle g} dalla scala di energia μ {\displaystyle \mu } di un dato processo fisico descritto da una teoria di campo. È definita dalla relazione:

β ( g ) = ∂ g ∂ log ⁡ ( μ ) {\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu )}}}

e, a causa del soggiacente gruppo di rinormalizzazione, non ha esplicita dipendenza da μ {\displaystyle \mu } , ma ne dipende solo implicitamente tramite g {\displaystyle g} . Questa dipendenza dalla scala di energia così specificata è detto il running della costante d'accoppiamento, una caratteristica fondamentale della dipendenza dalla scala in teoria quantistica dei campi, e il suo calcolo esplicito è attuabile grazie a una serie di tecniche matematiche.

Nella maggior parte delle teorie e in elettrodinamica quantistica la funzione beta è positiva, dando luogo a una interazione che si fa più forte a energie più alte (distanze più piccole). In una teoria di Yang-Mills come ad esempio la cromodinamica quantistica, la funzione beta è negativa, dando luogo a una interazione che si fa più debole ad alte energie (libertà asintotica), e più forte a basse energie (confinamento di colore).

Invarianza di scala

Se le funzioni beta di una teoria sono nulle, solitamente in corrispondenza di particolari valori delle costanti di accoppiamento, allora la teoria è detta invariante di scala. Quasi tutte le teorie di campo invarianti di scala sono anche conformemente invarianti. Lo studio di tali teorie è la teoria di campo conforme.

Le costanti di accoppiamento di una teoria di campo possono "correre" anche se la corrispondente teoria dei campi classica è invariante di scala. In questo caso la funzione beta non-nulla dice che l'invarianza di scala classica è anomala.

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