Produto exterior (cunha)

Em matemática, o produto exterior, também conhecido como produto cunha, é uma antissimetrização (alternação) do produto tensorial. O produto exterior é uma multiplicação associativa e distributiva de funções multilineares antissimétrica que seja anticomutativo para as funções com número ímpar de variáveis e comutativo de outra maneira. A teoria sistemática inicia na construção da potência exterior para um espaço vetorial.

Embaralhamentos

Se ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{r}}$ são números naturais maiores que zero, um ${\displaystyle (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$-embaralhemento é uma permutação ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\nu _{1}+\ldots +\nu _{r})}$ tal que as restrições de ${\displaystyle \sigma }$ a cada bloco ${\displaystyle B_{j}=\{\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1}+1,\ldots ,\nu _{1}+\ldots +\nu _{j}\}\subset \{1,2\ldots ,\nu _{1}+\ldots +\nu _{r}\}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,r}$, são crescentes, isto é, ${\displaystyle \sigma (1+\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1})<\sigma (1+\nu _{1}+\ldots +\nu _{j-1}+1)<\ldots <\sigma (\nu _{1}+\ldots +\nu _{j}-1)<\sigma (\nu _{1}+\ldots +\nu _{j})}$. É claro que ${\displaystyle \operatorname {Sh} (1,1,\ldots ,1)={\mathfrak {S}}_{n}}$. Considere o subgrupo ${\displaystyle H\leq {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}+\ldots +\nu _{r}}}$ consistindo daquelas permutações que estabilizam os conjuntos ${\displaystyle B_{j}}$. Claramente, ${\displaystyle H\cong {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}}\times \cdots \times {\mathfrak {S}}_{\nu _{r}}}$. O conjunto de ${\displaystyle (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$-embaralhementos será denotado por ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$ (shuffles). Temos uma associação de ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$ em ${\displaystyle H\backslash {\mathfrak {S}}}$, o espaço de classes ${\displaystyle \mathrm {mod} \,H}$ dada pela restrição da sobrejeção canônica. Trata-se de uma bijeção. Em outras palavras, ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$ é uma transversal para ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$. Em particular, ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})}$ tem ${\displaystyle {\frac {(\nu _{1}+\ldots +\nu _{r})!}{\nu _{1}!\cdot \nu _{2}!\cdots \nu _{r}!}}}$ elementos.

Note que podemos considerar ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})\subset {\mathfrak {S}}_{\nu _{1}+\ldots +\nu _{r+1}}}$. Feita essa identificação, temos uma bijeção ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1}+\ldots +\nu _{r},\nu _{r+1})\times \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})\to \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r+1})}$ dada por ${\displaystyle (\sigma ,\tau )\mapsto \sigma \tau }$. Note que de fato a imagem está contida em ${\displaystyle \operatorname {Sh} (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r+1})}$. Essa associação é injetiva. Por comparação de número de elementos, é uma bijeção.

O produto exterior

Fixe um espaço vetorial sobre um corpo qualquer (até mesmo de característica positiva). Recorde que uma ${\displaystyle k}$-forma alternada em ${\displaystyle V}$ é uma função multilinear alternada ${\displaystyle \underbrace {V\times V\times \cdots \times V} _{k}\to F}$. Multilinear significa linearidade em cada argumento; dizer que é uma função alternada é o mesmo que dizer que é nula a imagem de qualquer ${\displaystyle k}$-tupla em que ocorre um par consecutivo de entradas iguais. Equivalentemente, temos a

Proposição. Uma função ${\displaystyle k}$-linear é alternada se, e somente se, é nula a imagem de qualquer ${\displaystyle k}$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais.

Uma direção é óbvia. Devemos mostrar que se for nula a imagem de qualquer ${\displaystyle k}$-tupla em que ocorra um par consecutivo de entradas iguais, então será nula a imagem de qualquer ${\displaystyle k}$-tupla em que ocorram pelo menos duas entradas iguais. Seja ${\displaystyle T}$ uma forma ${\displaystyle k}$-linear que satisfaz a hipótese. Se ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}$, definimos a função multilinear ${\displaystyle \sigma (T)}$ como ${\displaystyle \sigma (T)(v_{1},\ldots ,v_{k})=T(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})}$. Se ${\displaystyle \tau }$ é uma transposição intercalando dois índices consecutivos, da hipótese segue que ${\displaystyle \tau (T)=-T=(\operatorname {sgn} \tau )\cdot T}$. Vejamos por quê: faça ${\displaystyle \tau =(i\,\,\,\,i+1)}$, fixe ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+2},\ldots ,v_{k}}$ e defina ${\displaystyle G(x,y)=T(v_{1},\ldots ,v_{i-1},x,y,v_{i+2},\ldots ,v_{k})}$. Temos que ${\displaystyle G(x+y,x+y)=0}$; já que ${\displaystyle T}$ é multilinear, ${\displaystyle G}$ é bilinear, logo ${\displaystyle 0=G(x,x)+G(x,y)+G(y,x)+G(y,y)=G(x,y)+G(y,x)}$, donde ${\displaystyle G(x,y)=-G(y,x)}$. Isso mostra que ${\displaystyle \tau (T)=(\operatorname {sgn} \tau )\cdot T}$. Note agora que ${\displaystyle \sigma (\sigma ^{\prime }(T))=(\sigma ^{\prime }\sigma )(T)}$. Então se ${\displaystyle \sigma (T)=(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot T}$ e ${\displaystyle \sigma ^{\prime }(T)=(\operatorname {sgn} \sigma ^{\prime })\cdot T}$, segue que ${\displaystyle (\sigma \sigma ^{\prime })(T)={\bigl (}\operatorname {sgn} (\sigma \sigma ^{\prime }){\bigr )}\cdot T}$. Agora usamos o seguinte fato da teoria básica dos grupos simétricos: ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$ é gerado por transposições que intercalam elementos consecutivos^[1]. Com isso, temos que ${\displaystyle \sigma (T)=(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot T}$ para toda permutação ${\displaystyle \sigma }$. Com uma transposição, deixamos adjacentes quaisquer dois índices; logo ${\displaystyle -T(v_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,v_{k})=0}$, finalizando a prova.

Podemos agora definir:

(Produto exterior). Se ${\displaystyle \omega }$ é uma ${\displaystyle k}$-forma alternada e ${\displaystyle \theta }$ é uma ${\displaystyle \ell }$-forma alternada, então definimos a ${\displaystyle (k+\ell )}$-forma ${\displaystyle \omega \wedge \theta }$ por

${\displaystyle \omega \wedge \theta (v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot \omega (v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})\theta (v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )})}$.

Vejamos por que ${\displaystyle \omega \wedge \theta }$ é uma ${\displaystyle (k+\ell )}$-forma alternada: sejam ${\displaystyle 1\leq i<k+\ell }$, ${\displaystyle v_{i}\in V}$, ${\displaystyle v_{i+1}\in V}$, com ${\displaystyle v_{i}=v_{i+1}}$. Devemos provar que ${\displaystyle \omega \wedge \theta (v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{k+\ell })=0}$. Particionaremos ${\displaystyle \operatorname {Sh} (k,\ell )}$ em quatro partes (disjuntas):

${\displaystyle P_{1}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\leq k\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\leq k\}}$

${\displaystyle P_{2}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\geq k+1\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\geq k+1\}}$

${\displaystyle P_{3}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\leq k\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\geq k+1\}}$

${\displaystyle P_{4}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (k,\ell )\mid \sigma ^{-1}(i)\geq k+1\,\,\mathbin {\&} \,\,\sigma ^{-1}(i+1)\leq k\}}$.

${\displaystyle \operatorname {Sh} (k,\ell )=P_{1}\sqcup P_{2}\sqcup P_{3}\sqcup P_{4}}$.

A soma sobre ${\displaystyle P_{1}}$ e a soma sobre ${\displaystyle P_{2}}$ se anulam, tendo em vista a alternância de ${\displaystyle \omega }$ e de ${\displaystyle \theta }$. Os conjuntos ${\displaystyle P_{3}}$ e ${\displaystyle P_{4}}$ estão em bijeção. Um vez que os índices são consecutivos, se ${\displaystyle \sigma \in P_{3}}$, então ${\displaystyle (i\,\,\,\,i+1)\sigma \in P_{4}}$ e vice-versa. Logo podemos tomar a bijeção ${\displaystyle \sigma \mapsto (i\,\,\,\,i+1)\sigma }$. Segue daí que ${\displaystyle \omega \wedge \theta }$ é alternante.

O produto exterior é associativo; isso é consequência da bijeção mencionada na seção anterior, ${\displaystyle \operatorname {Sh} (k+\ell ,r)\times \operatorname {Sh} (k,\ell )\to \operatorname {Sh} (k,\ell ,r)}$.

Para elementos do dual de ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in V^{\ast }}$, por indução temos

${\displaystyle f_{1}\wedge f_{2}\wedge \cdots \wedge f_{m}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{m})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (1,\ldots ,1)}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot f_{1}(\xi _{\sigma (1)})f_{2}(\xi _{\sigma (2)})\ldots f_{m}(\xi _{\sigma (m)})=\det {\bigl (}f_{i}(\xi _{j}){\bigr )}_{i,j}}$.

Como consequência, temos a seguinte

Proposição. Se ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ é base para ${\displaystyle V}$, então denotando por ${\displaystyle e^{1},\ldots ,e^{n}}$ a base dual correspondente, o conjunto dos ${\displaystyle e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}$, com ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}$, é base para o espaço das ${\displaystyle k}$-formas alternantes de ${\displaystyle V}$. Em particular, esse espaço tem dimensão ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$.

De fato, dada uma ${\displaystyle k}$-forma alternante ${\displaystyle \omega }$, temos, de maneira única,

${\displaystyle {\textstyle \omega =\sum \omega (e_{i_{1}},e_{i_{2}}\ldots ,e_{i_{k}})\,e^{i_{1}}\wedge e^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}}}}$.

Fixado um vetor ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$, podemos definir a contração de uma forma ${\displaystyle r}$-linear ${\displaystyle \omega }$ por ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Trata-se da forma ${\displaystyle (r-1)}$-linear ${\displaystyle i_{\mathbf {u} }\omega }$ definida por ${\displaystyle i_{\mathbf {u} }\omega (v_{1},\ldots ,v_{r-1})=\omega (\mathbf {u} ,v_{1},\ldots ,v_{r-1})}$.

É evidente que ${\displaystyle i_{\mathbf {u} }\omega }$ será alternada se ${\displaystyle \omega }$ o for.

Proposição. Sejam ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle \theta }$ formas alternadas, com ${\displaystyle \omega }$ uma ${\displaystyle p}$-forma. Vale a igualdade ${\displaystyle i_{\mathbf {u} }(\omega \wedge \theta )=(i_{\mathbf {u} }\omega )\wedge \theta +{(-1)}^{p}\omega \wedge (i_{\mathbf {u} }\theta )}$.

Prova. Seja ${\displaystyle \theta }$ uma ${\displaystyle q}$-forma alternada. Temos a seguinte bipartição: ${\displaystyle \operatorname {Sh} (p,q)=Q_{1}\sqcup Q_{2}}$, onde

${\displaystyle Q_{1}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,q)\mid \sigma (1)=1\}}$

${\displaystyle Q_{2}=\{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,q)\mid \sigma (p+1)=1\}}$.

Note que ${\displaystyle Q_{1}}$ está em bijeção com ${\displaystyle \operatorname {Sh} (p-1,q)}$ via ${\displaystyle \sigma \mapsto {\widetilde {\sigma \,}}}$, onde ${\displaystyle {\widetilde {\sigma \,}}(x)=\sigma (x+1)-1}$ para ${\displaystyle x=1,2,\ldots ,p+q-1}$. Estenda ${\displaystyle {\widetilde {\sigma \,}}}$ a todo o conjunto ${\displaystyle \{1,\ldots ,p+q\}}$ fixando ${\displaystyle p+q}$. Temos ${\displaystyle {\widetilde {\sigma \,}}=(p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)\cdot \sigma \cdot (p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)^{-1}}$, logo ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\widetilde {\sigma \,}}=\operatorname {\operatorname {sgn} } \sigma }$^[2]. Analogamente, ${\displaystyle Q_{2}}$ está em bijeção com ${\displaystyle \operatorname {Sh} (p,q-1)}$ via ${\displaystyle \sigma \mapsto {\overline {\sigma }}}$, onde ${\displaystyle {\overline {\sigma }}(x)={\begin{cases}\sigma (x)-1&,x=1,\ldots ,p\\\sigma (x+1)-1&,x=p+1,\ldots ,p+q-1\end{cases}}}$. Note: ${\displaystyle {\overline {\sigma }}=(p+q\,\,\,\,\,\,\,\,p+q-1\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,1)\cdot \sigma \cdot (p+1\,\,\,\,\,\,\,\,p+2\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,\,\,\,p+q)}$, donde ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {\sigma }}={(-1)}^{p}\operatorname {sgn} \sigma }$. (Para provar que são de fato bijeções, basta provar que são injetivas, pois ${\displaystyle \vert \mathrm {Sh} (p-1,q)\vert +\vert \mathrm {Sh} (p,q-1)\vert =\vert \mathrm {Sh} (p,q)\vert }$. Mas é óbvio que são injetivas). A proposição segue.

Proposição. Temos também ${\displaystyle \omega \wedge \theta ={(-1)}^{pq}\theta \wedge \omega }$.

Já que ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma \tau }$ é uma bijeção ${\displaystyle \operatorname {Sh} (p,q)\to \operatorname {Sh} (q,p)}$, onde ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {S}}_{p+q}}$ é definida por ${\displaystyle \tau (i)={\begin{cases}i+p&,i=1,2,\dots ,q\\i-q&,i=q+1,q+2,\dots ,q+p\end{cases}}}$. É fácil identificar os pares de inversão de ${\displaystyle \tau }$; há ${\displaystyle pq}$ deles, portanto ${\displaystyle \operatorname {sgn} \tau ={(-1)}^{pq}}$.

O alternador

Para corpos de característica zero, temos a transformação linear ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ que vai do espaço das formas ${\displaystyle k}$-lineares no espaço das ${\displaystyle k}$-formas alternantes sobre ${\displaystyle V}$. Definimos

${\displaystyle \operatorname {Alt} (S)(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}(\operatorname {sgn} \sigma )\cdot S(\xi _{\sigma (1)},\ldots ,\xi _{\sigma (k)})}$.

Se ${\displaystyle T}$ é uma forma ${\displaystyle \ell }$-linear, definimos a forma ${\displaystyle (k+\ell )}$-linear ${\displaystyle S\otimes T}$ por ${\displaystyle (S\otimes T)(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k},\xi _{k+1},\ldots ,\xi _{k+\ell })=S(\xi _{1},\ldots ,\xi _{k})\cdot T(\xi _{k+1},\ldots ,\xi _{k+\ell })}$.

Se ${\displaystyle \omega }$ é ${\displaystyle k}$-forma alternante e ${\displaystyle \theta }$ é ${\displaystyle \ell }$-forma alternante, definimos

${\displaystyle \omega \mathbin {\widetilde {\wedge }} \theta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \theta )}$.

Proposição. Temos ${\displaystyle {\widetilde {\wedge }}=\wedge }$.

É consequência imediata do fato de que ${\displaystyle \operatorname {Sh} (k,\ell )}$ é transversal para ${\displaystyle H}$ em ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k+\ell }}$.

Teoria Grassmann

A teoria algébrica remonta a Hermann Grassmann. Seu método de construir as estruturas algébricas utilizou geradores e relações e não é manifestamente independente de uma base.

Referências

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980), Tensor analysis on manifolds, Dover, ISBN 0-486-64039-6