Bereznai Gyula

Idézet az Egy egyszerű konvergenciakritérium című publikációból:

Tétel: Ha a ${\displaystyle \sum _{}a_{n}}$ pozitív tagú numerikus sorhoz létezik olyan valós ${\displaystyle p>e}$ és olyan természetes ${\displaystyle N}$, hogy valahányszor ${\displaystyle n>N}$, mindannyiszor

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\geq p}$,

akkor a sor konvergens. Ha pedig

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\leq e}$,

akkor a ${\displaystyle \sum _{}a_{n}}$ sor divergens.

A konvergenciakritérium bizonyítása: Minden ${\displaystyle p>e}$-hez található olyan ${\displaystyle s>1}$, amelyre ${\displaystyle p\geq e^{s}>e}$, hiszen minden ${\displaystyle 1<s\leq }$ln ${\displaystyle p}$ már megfelelő. Ezzel az ${\displaystyle s}$-sel

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\geq p\geq e^{s}=\lim _{n\to \infty }{\bigg [}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}{\bigg ]}^{s}>{\bigg [}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{s}{\bigg ]}^{n}>1}$,

tehát

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}>\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{s}={\frac {(n+1)^{s}}{n^{s}}}}$

s így

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<{\frac {\frac {1}{\left(n+1\right)^{s}}}{\frac {1}{n^{s}}}}}$.

Mivel azonban a ${\displaystyle \sum _{}{\frac {1}{n^{s}}}\left(s>1\right)}$ általánosított harmonikus sor konvergens, azért a ${\displaystyle \sum _{}a_{n}}$ sor is az.

A divergenciakritérium a következőképpen bizonyítható: A

${\displaystyle 0>\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\leq e}$

feltételből

${\displaystyle \left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)^{n}\geq e^{-1}>\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}>0}$,

ebből pedig

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>{\frac {n-1}{n}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}}}$

következik, márpedig a ${\displaystyle \sum _{}{\frac {1}{n}}}$ harmonikus sor divergens.

A most bebizonyított konvergenciakritérium a következő formában is megfogalmazható:

Ha

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}>e}$,

akkor a ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}}$ sor konvergens.

Valóban, ha

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}=q>e}$,

akkor az ${\displaystyle \left\{\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\right\}}$ sorozatnak csak véges sok olyan tagja lehet, amely a ${\displaystyle q}$ hely bármely környezetének baloldali végpontjánál kisebb. Ezek kivételével tehát

${\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)^{n}\geq q-{\frac {q-e}{2}}={\frac {e+q}{2}}=p>{\frac {2e}{2}}=e}$,

s igy a sor az előbbiek szerint konvergens.

(A tételt Sándor József általánosította.)^[15]

Ismeretes, hogy Bereznai Gyula módszere hatékonyabb, mint a pozitív tagú numerikus sorok konvergenciájának eldöntésére leggyakrabban alkalmazott úgynevezett D'Alembert-féle hányados és az úgynevezett Raabe–Duhamel-féle módszer. Azaz, Bereznai Gyula eredménye – többek között – egy jól használható eszközt ad a matematika egy igen intenzíven kutatott ágának, a harmonikus analízisnek a tanulmányához. (Dr.Habil. Gát György)^[16]