Laplace-operátor

A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).

Általában

Skalármező Laplace-operátora:

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right)}$

Vektormezőre:

${\displaystyle \Delta {\vec {A}}=\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \,{\vec {A}}\right)-\operatorname {rot} \left(\operatorname {rot} \,{\vec {A}}\right)}$

A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

${\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}$

a definíció alapján, ahol ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióban

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós ${\displaystyle f(x)}$ függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:

${\displaystyle \Delta f(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}}$.

Két dimenzióban

Az ${\displaystyle f(x,y)}$ kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

${\displaystyle \Delta f(x,y)={\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}}$

polárkoordinátákban:

${\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}$

vagy

${\displaystyle \Delta f(r,\phi )={\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}$

Három dimenzióban

A ${\displaystyle f(x,y,z)}$ háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

${\displaystyle \Delta f(x,y,z)={\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f(x,y,z)}{\partial z^{2}}}}$

hengerkoordinátákban

${\displaystyle \Delta f(\rho ,\phi ,z)={\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \cdot {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

az ${\displaystyle f(r,\vartheta ,\phi )}$ gömbi koordinátákkal

${\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \vartheta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\left(\sin \vartheta \cdot {\frac {\partial f}{\partial \vartheta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\cdot {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}$

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: ${\displaystyle {\frac {1}{r}}\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\cdot f)}$ vagy akár ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial r}}}$ .

A Laplace-operátor Green-függvénye ${\displaystyle G_{\Delta }(x,x')=-{\frac {1}{4\pi \|x-x'\|}}+F(x,x')}$ mit ${\displaystyle \Delta F(x,x')=0}$.

Ekkor teljesül: ${\displaystyle \Delta G_{\Delta }(x,x')=\delta (x-x')}$, ahol ${\displaystyle \delta }$ a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

Megjegyzések

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

${\displaystyle \Delta \varphi =0}$

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele ${\displaystyle \nabla ^{2}}$.

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }$

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

Tulajdonságok

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha ${\displaystyle f}$ kétszer differenciálható és ${\displaystyle R}$ forgatómátrix, akkor

${\displaystyle \left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right)}$,

ahol „${\displaystyle \circ }$“ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Ag_n és g_nm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő: ${\displaystyle {\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$

2D-szűrő: ${\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter: ${\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}}$

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace–Beltrami-operátor

Értelmezése

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező ${\displaystyle M}$-en.

Az ${\displaystyle M}$ sokaság minden ${\displaystyle x}$ pontjában fennáll a ${\displaystyle \,v\in T_{x}M}$ érintővektorra:

${\displaystyle \langle {\mbox{grad}}f(x),v\rangle =\mathrm {d} f(x)(v)}$

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

${\displaystyle \left({\mbox{grad}}f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}$

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A ${\displaystyle g^{ij}}$-k a ${\displaystyle g_{ij}}$ metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$, ahol ${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$ a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az ${\displaystyle M}$ sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek ${\displaystyle L_{X}}$ Lie-deriváltjával

${\displaystyle ({\mbox{div}}X)\;\mathrm {vol} _{n}:={\mathcal {L}}_{X}\mathrm {vol} _{n}}$

Ha ${\displaystyle g}$ a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

${\displaystyle \mathrm {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}}$

Itt ${\displaystyle |g|:=|\det g_{ij}|}$ a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A ${\displaystyle \mathrm {d} x^{i}}$-k a

${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban

${\displaystyle {\mbox{div}}X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right).}$

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

${\displaystyle \Delta f={\mbox{div grad}}\;f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f\right)}$.

Alakjai

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

${\displaystyle \Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f+(\partial ^{i}f)\partial _{i}\ln {\sqrt {|g|}}}$

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre ${\displaystyle |g|=1}$, azért ${\displaystyle \Delta f=\partial _{i}\partial ^{i}f}$ adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra ${\displaystyle |g|=r}$ és ${\displaystyle |g|=\rho }$, a gömbi koordinátákra pedig ${\displaystyle |g|=r\sin \theta }$.

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

${\displaystyle \Delta f=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)}$.

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} f(X)\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}f{\mbox{div}}X\;\mathrm {vol} _{n}}$.

Alkalmas f és h függvényekre:

${\displaystyle \int _{M}f\Delta h\;\mathrm {vol} _{n}=-\int _{M}\langle {\mbox{grad}}f,{\mbox{grad}}h\rangle \;\mathrm {vol} _{n}=\int _{M}h\Delta f\;\mathrm {vol} _{n}}$.

Források

• Otto Forster: Analysis 3. - 3. Auflage. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1984
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. - Braunschweig ; Wiesbaden : Vieweg, 1995