Majdnem prímek

A számelméletben egy természetes szám majdnem prím (almost prime), ha létezik olyan K konstans, hogy a számnak legfeljebb K prímtényezője van.^[1][2] Egy n majdnem prímet jelölje P_r, amennyiben n prímtényezőinek száma multiplicitással számolva legfeljebb r.^[3] Egy természetes számot akkor nevezünk k-majdnem prímnek, ha pontosan k prímtényezővel rendelkezik, multiplicitással számolva. Formálisabban, egy n természetes szám akkor és csak akkor k-majdnem prím, ha ν(n) = k, ahol ν(n), azaz nű(n) az n prímtényezős felbontásában található prímek száma, multiplicitással számolva:

${\displaystyle \nu (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{ha}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.}$

Egy természetes szám tehát akkor prím, ha 1-majdnem prím és akkor félprím, ha 2-majdnem prím. A k-majdnem prímek halmazát általában P_k jelöli. A legkisebb k-majdnem prím mindig 2^k. Az első néhány k-majdnem prím:

Az n-nél nem nagyobb, legfeljebb k (nem feltétlenül különböző) prímtényezővel rendelkező π_k(n) egész számok száma aszimptotikusan:^[4]

${\displaystyle \pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},}$

ami Landau eredménye. Lásd még: Hardy–Ramanujan-tétel.

Jegyzetek

További információk

• Weisstein, Eric W.: Almost prime (angol nyelven). Wolfram MathWorld