Elektromos kapacitás

Az elektromos kapacitás vagy röviden kapacitás a kondenzátort, a több kondenzátorból álló kétpólust, illetve a magában álló, környezetétől elszigetelt elektromos vezetőt jellemző fizikai mennyiség. Jele a latin capacitas (befogadóképesség, tárolóképesség) alapján C. A kapacitás SI-mértékegysége a farad (F).

Kondenzátor kapacitása

A kondenzátor két vezetőből, és a köztük elhelyezkedő szigetelőből álló elektromos alkatrész. A két vezetőt fegyverzetnek nevezik. Az egyik fegyverzeten található töltésmennyiség és a fegyverzetek közötti feszültség hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget a kondenzátor kapacitásának nevezzük. Képlettel:

C = Q U {\displaystyle C={\frac {Q}{U}}} .

A kondenzátor kapacitása függ a fegyverzetek méreteitől, azok egymáshoz viszonyított helyzetétől és távolságától, továbbá a fegyverzeteket körülvevő (egyszerűbb esetekben a fegyverzetek között található) szigetelőanyag (dielektrikum) permittivitásától.

Több kondenzátorból álló kétpólus kapacitása

A kétpólus olyan elektromos áramkör, amelynek két kivezetése (csatlakozópontja) van. Több kondenzátorból álló kétpólus esetén az egyik kivezetésén található töltésmennyiség és a két kivezetés közti feszültség hányadosával meghatározott fizikai mennyiséget a kétpólus kapacitásának nevezzük. Képlettel:

C = Q U {\displaystyle C={\frac {Q}{U}}} .

Magában álló, környezetétől elszigetelt vezető kapacitása

A kapacitás egy magában álló, környezetétől elszigetelt vezető esetén is hasonlóan értelmezhető, mint a kondenzátor kapacitása. Ilyenkor úgy tekintjük, hogy a vizsgált vezető az egyik fegyverzet, a másik pedig ettől végtelen távol van, és így a feszültség szerepét a végtelen távoli ponthoz viszonyított feszültség, azaz a potenciál veszi át. Ennek megfelelően: A magában álló, környezetétől elszigetelt vezető esetén a vezetőn levő töltésmennyiség és a potenciál hányadosaként értelmezett fizikai mennyiséget a vezető kapacitásának nevezzük. Képlettel:

C = Q U {\displaystyle C={\frac {Q}{U}}} .

A magában álló, környezetétől elszigetelt vezető kapacitása függ a méreteitől, továbbá a vezetőt körülvevő szigetelőanyag (dielektrikum) permittivitásától.

A kapacitás mértékegységei

A kapacitás SI-mértékegysége a farad (ejtsd: farád), jele: F. Az elnevezés Michael Faraday angol fizikus nevéből származik. A kapacitás definíciójából adódóan:

[ C ] = [ Q ] [ U ] = C V = F {\displaystyle [C]={[Q] \over [U]}={{\mbox{C}} \over {\mbox{V}}}={\mbox{F}}} .

A farad az SI-alapegységekkel kifejezve:

F = m − 2 ⋅ k g − 1 ⋅ s 4 ⋅ A 2 {\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {m} ^{-2}\cdot \mathrm {kg} ^{-1}\cdot \mathrm {s} ^{4}\cdot \mathrm {A} ^{2}} .
A Föld kapacitása

A kapacitás további, a gyakorlatban használt SI-egységei a mikrofarad, a nanofarad és pikofarad. Az SI-ben használt prefixumok értékeinek megfelelően:

Név Jel Értéke
mikrofarad µF 10−6 F 0,000 001 F
nanofarad nF 10−9 F 0,000 000 001 F
pikofarad pF 10−12 F 0,000 000 000 001 F

Azt, hogy a farad a gyakorlatban túlzottan nagynak bizonyult, jól szemlélteti, hogy a 6371 km sugarú vezető gömbnek tekinthető Föld kapacitása is csupán 708 µF.

5000 cm kapacitású kondenzátor

A kapacitás CGS-mértékegysége a centiméter. A centiméter és a farad (illetve a pikofarad) közti kapcsolat:

1 cm ≈ 1,11·10−12 F,

azaz

1 cm ≈ 1,11 pF.

Definíció szerint pontosan C = 1 cm a kapacitása egy vákuumban elhelyezkedő R = 1 cm sugarú fémgömbnek, az {R} cm sugarú gömb kapacitása pedig {R} cm. (Itt az {R} jelölés az R sugár centiméterben megadott értékének a mérőszámát jelenti.)

Néhány egyszerű rendszer kapacitása

Típus Képlet Magyarázat
Síkkondenzátor C = ε ⋅ A d {\displaystyle C=\varepsilon \cdot {\frac {A}{d}}}
Körlap 8 ⋅ ε ⋅ R {\displaystyle 8\cdot \varepsilon \cdot R}
Gömb C = 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R {\displaystyle C=4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R}
Gömbkondenzátor C = 4 ⋅ π ⋅ ε 1 R 1 − 1 R 2 {\displaystyle C={\frac {4\cdot \pi \cdot \varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}}
Hengerkondenzátor

(koaxiális kábel)

C = 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ l ln ( R 2 R 1 ) {\displaystyle C=2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {\frac {l}{\ln \!\left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}}
Két párhuzamos vezeték C = π ⋅ ε ⋅ l arcosh ⁡ ( d 2 ⋅ R ) {\displaystyle C={\frac {\pi \cdot \varepsilon \cdot l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2\cdot R}}\right)}}}
Síkkal párhuzamos vezeték C = 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ l arcosh ⁡ ( d R ) {\displaystyle C={\frac {2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot l}{\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{R}}\right)}}}
Két gömb, egyenlő sugáral C = 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) = {\displaystyle C=2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}=}
= 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ { 1 + 1 2 ⋅ D + 1 4 ⋅ D 2 + 1 8 ⋅ D 3 + 1 8 ⋅ D 4 + 3 32 ⋅ D 5 + O ( 1 D 6 ) } = {\displaystyle =2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \left\{1+{\frac {1}{2\cdot D}}+{\frac {1}{4\cdot D^{2}}}+{\frac {1}{8\cdot D^{3}}}+{\frac {1}{8\cdot D^{4}}}+{\frac {3}{32\cdot D^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}=}
= 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ { ln ⁡ 2 + γ − 1 2 ln ⁡ ( 2 ⋅ D − 2 ) + O ( 2 ⋅ D − 2 ) } {\displaystyle =2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \left\{\ln 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\ln \left(2\cdot D-2\right)+{\mathcal {O}}\left(2\cdot D-2\right)\right\}}

C ≈ 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ ( 1 + R d ) {\displaystyle C\approx 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \left(1+{\frac {R}{d}}\right)}

D = d 2 ⋅ R > 1 {\displaystyle D={\frac {d}{2\cdot R}}>1}
γ {\displaystyle \gamma } : Euler–Mascheroni-állandó
Gömb és sík C = 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ ∑ n = 1 ∞ sinh ⁡ ( ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) sinh ⁡ ( n ln ⁡ ( D + D 2 − 1 ) ) {\displaystyle C=4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}

C ≈ 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R ⋅ ( 1 + R 2 ⋅ d ) {\displaystyle C\approx 4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R\cdot \left(1+{\frac {R}{2\cdot d}}\right)}

D = d R > 1 {\displaystyle D={\frac {d}{R}}>1}
Vékony huzal C = 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ l Λ ⋅ { 1 + 1 Λ ⋅ ( 1 − ln ⁡ 2 ) + 1 Λ 2 ⋅ [ 1 + ( 1 − ln ⁡ 2 ) 2 − π 2 12 ] + O ( 1 Λ 3 ) } {\displaystyle C={\frac {2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot l}{\Lambda }}\cdot \left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\cdot \left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\cdot \left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}}

Λ = l n ( l a ) {\displaystyle \Lambda =ln\left({\frac {l}{a}}\right)}

Megjegyzés: Az ε minden képletben a szigetelő permittivitását jelöli.

Kondenzátorokból álló kétpólus eredő kapacitása

Az eredő kapacitás fogalma

Igazolható, hogy a kondenzátorokból álló kétpólus helyettesíthető egyetlen kondenzátorral úgy, hogy a kétpólust tartalmazó áramkör többi részén a helyettesítés következtében semmiféle változás ne történjen. Annak a kondenzátornak a kapacitását, amellyel a kétpólusú kondenzátorrendszer ily módon helyettesíthető, a rendszer (kétpólus) eredő kapacitásának nevezzük. Az eredő kapacitás jele Ce, de ha nem okoz félreértést, egyszerűen csak C-vel jelöljük. Belátható, hogy a kondenzátorokból álló kétpólus kapacitása ugyanakkora, mint az eredő kapacitása.

Párhuzamos kapcsolás

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolásánál minden kondenzátor egyik kivezetése a rendszer egyik kivezetéséhez, a másik kivezetése pedig a rendszer másik kivezetéséhez csatlakozik. Mérésekkel, illetve elméleti úton is igazolható, hogy párhuzamos kapcsolásnál a rendszer eredő kapacitása ugyanakkora, mint az egyes kondenzátorok kapacitásának összege. Képlettel:

C e = C 1 + C 2 +   . . .   + C n {\displaystyle C_{\mathrm {e} }=C_{1}+C_{2}+\ ...\ +C_{\mathrm {n} }} .

Speciálisan n db C kapacitású kondenzátor párhuzamos kapcsolásánál az eredő kapacitás:

C e = n ⋅ C {\displaystyle C_{\mathrm {e} }=n\cdot C} .

Soros kapcsolás

Kondenzátorok soros kapcsolása

Kondenzátorok soros kapcsolásánál az egyes kondenzátorok elágazás nélkül kapcsolódnak egymáshoz. A rendszer két kivezetését az első és az utolsó kondenzátor szabadon maradó kivezetései alkotják. Mérésekkel, illetve elméleti úton is igazolható, hogy soros kapcsolásnál a rendszer eredő kapacitásának reciproka ugyanakkora, mint az egyes kondenzátorkapacitások reciprokának összege. Képlettel:

1 C e = 1 C 1 + 1 C 2 +   . . .   + 1 C n {\displaystyle {\frac {1}{C_{\mathrm {e} }}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+\ ...\ +{\frac {1}{C_{\mathrm {n} }}}} .

Speciálisan n db C kapacitású kondenzátor párhuzamos kapcsolásánál az eredő kapacitás:

C e = C n {\displaystyle C_{\mathrm {e} }={\frac {C}{n}}} .

Igazolható, hogy két kondenzátor soros kapcsolásánál az eredő kapacitás közvetlenül az

C e = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 {\displaystyle C_{\mathrm {e} }={\frac {C_{1}\cdot C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}}

összefüggés alapján is kiszámítható.

Kondenzátor által tárolt energia

W = 1 2 C U 2 {\displaystyle W={\frac {1}{2}}CU^{2}}

Kapcsolódó szócikkek

Források

  • Budó Ágoston: Kísérleti fizika II., Budapest, Tankönyvkiadó, 1971.
  • Hans Breuer: SH atlasz – Fizika, Budapest, Springer-Verlag, 1993, ISBN 963 7775 58 7
  • ifj. Zátonyi Sándor: Fizika 10., Budapest, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2009. ISBN 978 963 19 6320 5

További információk

  • Fizikakönyv.hu – Elektrosztatika
  • fizika Fizikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap